赛教天地

【教学反思】必修⑤2.3等差数列的前n项和

作者:曾德稳

  

答:当时,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5050

(数学王子,德国数学家高斯10岁的时候,有一次数学教师布特纳要求学生将前100个自然数加起来,即求1+2+3+……+100的和。老师刚解释完题目,高斯就把写有答案的石板交了上去,布特纳连看也没看,心想这个全班最小的学生准是瞎写了些什么,或者交了白卷,过了很久,其他学生才一个个把石板叠在上面,等到布特纳发现只有高斯的石板上写着一个正确的答案而比他大的孩子都错了的时候,才大吃一惊,因为在这之前,他从未教过学生计算等差数列。那么高斯是怎样巧妙的算出结果的呢?我们分析,可能是高斯将这100个数分成50组(1+100),(2+99),(3+98),…… ,(50+51),而每组两数之各都等于101,因此,1+2+3+……+100=101×50=5050。)

高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3,…,n,…前100项的和的问题。

  但这只是前100项的和,我们想知道前n项的和怎样求,更想知道有没有一个公式来表示。这就是我们今天要研究的问题……

二、创设情境  合作探究:

创设情境

首先,我们根据高斯的算法,来计算一下1,2,3,…,n,…的前n项的和:

(学生分组讨论,展示做法)

●有的同学可能直接按照高斯的算法:(1+n+( 2+n-1) +(3+n-2)+……但不知道数的个数是偶数还是奇数,不一定能恰好都配成对。

●有的同学可能根据上面解法存在的问题,对n 进行分类讨论:

n 为偶数:……       n 为奇数:……

     ●最后交流出最佳方法:

   1   +  2   + + n-1   +  n

        n   + n-1  + +  2    + 1   

   n+1+n+1+ +n+1+n+1

从而初步总结出推导等差数列前n项和的一般方法:倒序相加法。


点评】(1对于第一个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了;对于第二个公式,只要知道等差数列首项、公差和项数就可以求等差数列前n项和了。实际解题时可根据题目给出的已知条件选择合适的公式来解决。

         (2)这两个公式除了“数”的本质外,用“形”也可以直观地说明一下:

 



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